Dreieck unter Tangente - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

1. Tangentenallgemeinform nutzen:
   Die allgemeine Tangentengleichung an der Stelle \(x_0\) lautet: \(t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0)\)
2. Schnittpunkte mit den Achsen überlegen:
   Damit ein Dreieck im ersten Quadranten entsteht, muss der \(y\)-Achsenabschnitt \(b = t(0)\) positiv sein (\(b > 0\)) und die Nullstelle der Tangente \(x_N\) ebenfalls positiv sein (\(x_N > 0\)).
3. Bedingung an die Steigung:
   Da die Parabel für \(x > 1\) steigt, würde eine Tangente dort die \(y\)-Achse im negativen Bereich schneiden. Untersuche daher gezielt den Bereich \(0 \le x_0 \le 1\).

Zu Teilaufgabe b)

1. Achsenabschnitte berechnen:
   Bestimme den Schnittpunkt der Tangente mit der \(y\)-Achse \(S_y(0 \mid y_0)\) und der \(x\)-Achse \(S_x(x_N \mid 0)\) in Abhängigkeit von \(x_0\).
2. Hauptbedingung aufstellen:
   Das entstehende Dreieck ist rechtwinklig mit den Kathetenlängen \(x_N\) und \(y_0\). Für den Flächeninhalt gilt: \(A(x_0) = \frac{1}{2} \cdot x_N \cdot y_0\)
3. Zielfunktion ableiten:
   Setze die Ausdrücke für \(x_N\) und \(y_0\) ein. Du erhältst die Zielfunktion \(A(x_0)\). Bestimme deren Maximum im Intervall aus Teilaufgabe a) mithilfe der ersten Ableitung (\(A'(x_0) = 0\)).