Extremwertproblem - Zahlenrätsel - Lösung

a) Bestimmen von zwei Summanden mit maximalem Produkt

1. Aufstellen der Bedingungen und der Zielfunktion:

Die beiden Summanden seien $x$ und $y$. Das Produkt $P$ soll maximiert werden. Hauptbedingung: $$ \begin{aligned} P(x, y) &= x \cdot y \end{aligned} $$

Nebenbedingung: $$ \begin{aligned} x + y = 60 \implies y = 60 - x \end{aligned} $$

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung liefert die Zielfunktion: $$ \begin{aligned} P(x) = x \cdot (60 - x) = 60x - x^2 \end{aligned} $$

2. Bestimmung des Maximums:

Um das Maximum zu berechnen, bilden wir die ersten beiden Ableitungen nach $x$: $$ \begin{aligned} P'(x) &= 60 - 2x \\ P''(x) &= -2 \end{aligned} $$

Notwendige Bedingung für ein Extremum ist $P'(x) = 0$: $$ \begin{aligned} 60 - 2x &= 0 \\ x &= 30 \end{aligned}$$

Hinreichende Bedingung prüfen: $P''(30) = -2 < 0 \implies$ Es handelt sich um ein lokales Maximum.

3. Berechnung des zweiten Summanden:

Setzt man $x = 30$ in die umgestellte Nebenbedingung ein, erhält man: $y = 60 - 30 = 30$

Die beiden gesuchten Summanden lauten somit $30$ und $30$. Ihr maximales Produkt beträgt $30 \cdot 30 = 900$.

b) Zerlegung der Zahl 30 für ein maximales Produkt

1. Aufstellen der Bedingungen und der Zielfunktion: Der erste Summand sei $x$ und der zweite Summand sei $y$ (mit $x, y > 0$). Das Produkt $P$ soll maximiert werden. Hauptbedingung: $$ \begin{aligned} P(x, y) &= x \cdot y \end{aligned} $$

Nebenbedingung: $$ \begin{aligned} x + y &= 30 \\ y &= 30 - x \end{aligned} $$

Einsetzen von $y$ in die Hauptbedingung liefert die Zielfunktion: $$ \begin{aligned} P(x) &= x^2 \cdot (30 - x) \\ P(x) &= 30x^2 - x^3 \end{aligned} $$

2. Bestimmung des Maximums: Wir bilden die ersten beiden Ableitungen der Zielfunktion: $$ \begin{aligned} P'(x) &= 60x - 3x^2 \\ P''(x) &= 60 - 6x \end{aligned} $$

Notwendige Bedingung für ein Extremum ist $P'(x) = 0$: $$ \begin{aligned} 60x - 3x^2 &= 0 \\ 3x \cdot (20 - x) &= 0 \end{aligned} $$

Daraus ergeben sich die Nullstellen der Ableitung: $x_1 = 0$ oder $x_2 = 20.$

Da die Summanden positiv sein müssen ($x > 0$), entfällt $x_1 = 0$.
Wir prüfen $x_2 = 20$ mit der hinreichenden Bedingung: $P''(20) = -60 < 0 \implies$ Es handelt sich um ein lokales Maximum.

3. Berechnung des zweiten Summanden: Setzt man $x = 20$ in die nach $y$ umgestellte Nebenbedingung ein, erhält man: $y = 30 - 20 = 10$

Die beiden gesuchten Summanden lauten somit $20$ (als erster Summand) und $10$ (als zweiter Summand). Das maximale Produkt beträgt $20^2 \cdot 10 = 400 \cdot 10 = 4000$.