Rechteck im Dreieck - Tipp

• Hauptbedingung aufstellen:
  Der Flächeninhalt des Rechtecks berechnet sich durch das Produkt seiner Seitenlängen. Wenn die Breite mit \(x\) und die Höhe mit \(y\) bezeichnet wird, gilt: \(A(x, y) = x \cdot y\)

• Nebenbedingung über Ähnlichkeit (Strahlensatz) aufstellen:
  Das obere, abgeschnittene Dreieck über dem Rechteck ist ebenfalls gleichseitig und hat die Seitenlänge \(x\). Seine Höhe beträgt \(h_{oben} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x\). (Pythoagoras)
  Die Gesamthöhe des großen Dreiecks beträgt \(h_{gesamt} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3}\).
  Da gilt \(h_{gesamt} = h_{oben} + y\), kannst du daraus eine Beziehung zwischen \(x\) und \(y\) herstellen.

• Alternativer Weg für die Nebenbedingung:
  Betrachte die kleinen rechtwinkligen Dreiecke links oder rechts unten neben dem Rechteck.
  Die Grundseite eines solchen Dreiecks beträgt \(\frac{2 - x}{2} = 1 - \frac{1}{2}x\).
  Da es sich um ein halbes gleichseitiges Dreieck handelt, beträgt der Innenwinkel \(60^\circ\).
  Über den Tangens gilt: \(\tan(60^\circ) = \frac{y}{1 - \frac{1}{2}x}\) und damit \(\sqrt{3} = \frac{y}{1 - \frac{1}{2}x}\)

• Zielfunktion und Extremum:
  Löse die Nebenbedingung nach \(y\) auf, setze sie in die Hauptbedingung ein und bestimme das Maximum der so entstandenen quadratischen Funktion mithilfe der ersten Ableitung.