Rechteck im Dreieck - Lösung

a) Bestimmen der Maße und des maximalen Flächeninhalts

1. Hauptbedingung aufstellen: Die Breite des Rechtecks sei $x$ und die Höhe sei $y$. Der Flächeninhalt $A$ soll maximiert werden: $$ \begin{aligned} A(x, y) &= x \cdot y \end{aligned} $$

2. Nebenbedingung aufstellen: Die Gesamthöhe $h$ des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge $a = 2$ berechnet sich über Pythagoras oder die Standardformel: $$ \begin{aligned} h &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 = \sqrt{3} \end{aligned} $$

Das kleine Dreieck, das oben auf dem Rechteck „sitzt“, ist ebenfalls gleichseitig und hat die Seitenlänge $x$. Seine Höhe $h_{oben}$ beträgt: $$ \begin{aligned} h_{oben} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \end{aligned} $$

Aus der Skizze ist ersichtlich, dass die Gesamthöhe $h$ die Summe aus der Höhe des oberen Dreiecks $h_{oben}$ und der Rechteckshöhe $y$ ist: $$ \begin{aligned} h &= h_{oben} + y \\ \sqrt{3} &= \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x + y \\ y &= \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x \end{aligned} $$

3. Zielfunktion aufstellen: Setzt man die nach $y$ umgestellte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, erhält man die Zielfunktion in Abhängigkeit von $x$: $$ \begin{aligned} A(x) &= x \cdot \left(\sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot x\right) \\ A(x) &= \sqrt{3}x - \frac{\sqrt{3}}{2}x^2 \end{aligned} $$

Der sinnvolle Definitionsbereich für die Breite ist $x \in (0; 2)$.

4. Bestimmung des Maximums: Wir bilden die ersten beiden Ableitungen der Zielfunktion: $$ \begin{aligned} A'(x) &= \sqrt{3} - \sqrt{3}x\\ A''(x) &= -\sqrt{3} \end{aligned} $$

Notwendige Bedingung für ein Extremum ist $A'(x) = 0$: $$ \begin{aligned} \sqrt{3} - \sqrt{3}x &= 0 \\ \sqrt{3}x &= \sqrt{3} \\ x &= 1 \end{aligned} $$

Hinreichende Bedingung prüfen: $A''(1) = -\sqrt{3} < 0 \implies$ Es handelt sich um ein lokales Maximum.

5. Berechnung der gesuchten Werte: Die optimale Breite des Rechtecks beträgt $x = 1$. Die dazugehörige Höhe $y$ berechnet sich durch Einsetzen in die Nebenbedingung: $y = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Der maximale Flächeninhalt $A$ beträgt: $A(1) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Das Rechteck hat somit die Seitenlängen $x = 1$ und $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Der maximale Flächeninhalt beträgt $A = \frac{\sqrt{3}}{2}$.